Kamis, 11 Oktober 2012

materi dan contoh soal pertidaksamaan

BAB 3

PERSAMAAN KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

 

 

A. Ringkasan Rumus-rumus 

Bentuk Umum : ax2 + bx + c = 0, dengan syarat a ¹0

1. Menentukan akar –akar Persamaan Kuadrat

a.       Rumus abc



 

 

 


b.      Pemfaktoran

ax2 + bx + c = 0

Û (x – p)(x – q) = 0

Û x = p atau x = q

2.  Sifat-sifat akar-akar PK

Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari PK ax2 + bx + c = 0 maka ;

1.      .

 



 

2.       

 


3.      akar-akarnya saling berlawanan jika b = 0

4.      akar-akarnya saling berkebalikan jika a = c.

3. Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

PK yang memiliki akar akar a dan  b adalah
x2 – (
a + b)x + ab = 0

 

Beberapa rumus praktis dalam menyusun persamaan kuadrat baru;

Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan ax2 + bx + c = 0, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya:

(1)   x1 + p dan x2 + p Þ a(x-p)2 + b(x-p) + c

 

(2)   px1 dan px2  Þ ax2 + bpx + cp2=0

 

(3)     Þ cx2 + bx + a = 0

 

(4)   x12 dan x22  Þ a2x2 – (b2-2ac)x + c2 = 0

 

B. Ringkasan rumus-rumus Bab Pertidaksamaan Kuadrat

Bentuk Umum: ax2 + bx + c < 0 atau ax2 + bx + c > 0

Penyelesaian

 ax2 + bx + c < 0  ( daerah yang dicari adalah daerah positif)

(x – p)(x – q) < 0  (faktorkanlah ruas kiri)

Kemudian tuangkan ke dalam garis bilangan



 

 


                   p                      q

ambil sembarang titik, kecuali di p dan q.

misalnya di titik 0. Kemudian kita substitusi ke dalam persamaan ax2 + bx + c. Tentukankanlah nilainya positif atau negatif. Misalnya diperoleh negatif, berarti daerah diatas nol adalah daerah negatif. Kemudian kita arsir daerah positif.

 


               ++++    -----------        +++++

                       p          0          q

HPnya adalah daearah positif sehingga x < p atau x > q

 

Untuk pertidaksamaan ax2 + bx + c > 0

 Caranya identik dengan cara diatas.

 

C. Kisi-kisi UN Tahun 2012 Bab Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat

1.      Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan kuadrat

2.      Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat

 

D. Contoh soal dan Pembahasan

1.      Persamaan 2x2 + qx + (q-1) = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Jika x12+x22 = 4, maka nilai q = ….

a. –6 dan 2                        b. –5 dan 3      c. –4 dan 4      d. –3 dan 5                 e. –2 dan 6

 

Pembahasan

Diketahui 2x2 + qx + (q-1) = 0, maka x1+x2 =  dan x1.x2 =

x12+x22 = (x1+ x2)2 - 2x1.x2

Û   4    =                       Û 16 = q2- 4q + 4

                                                                  Û  0  = q2- 4q -12

Û   4    =                               Û (q + 2)(q - 6) = 0

Û   4    =                              q = -2 atau q = 6

Û   4    =                                                                   ( jawab e )

 

2.      Akar-akar persamaan x2 – 4x + 6 = 0 adalah x1 dan x2. Nilai x12 + x22 = …..

  1. –8

  2. –4

  3. 4

  4. 20

  5. 28

 

 

 

Pembahasan

x2 – 4x + 6 = 0 maka a = 1, b = -4 dan c = 6

x1 + x2 =

x1 x2 =

x12 + x22    = (x1 + x2)2 - 2 x1 x2

                        = 42-2.6

                  = 16-12 = 4                                                                                                       ( Jawab  c)

 

3.      Persamaan kuadrat mx2 + (m-5)x – 20 = 0 akar-akarnya saling berlawanan.
Nilai m =….

a. 4                                    b.5                   c. 6                              d. 8                  e. 12

 

Pembahasan

PK: mx2 + (m-5)x – 20 = 0 sehingga a = m, b = m-5 dan c = -20

Akar-akarnya saling berlawanan jika b = 0

                                                 Ûm – 5 = 0

                                                 Û      m = 5                                              ( jawab b)

 

4.      Persamaan kuadrat x2 –(m-1)x + 2= 0 mempunyai dua akar yang berlainan. Batas-batas nilai m yang memenuhi adalaah….

a. –2 < m < 4                     c. –4 < m < -2              e. m < -2 atau m > 4

b. –4 < m < -2                   d. m < 2 atau m > 4

 

Pembahasan

x2 –(m-1)x + 2= 0, maka diperoleh a = 1, b = -m + 1, c = 2

syarat dua akar berlainan adalah D > 0

                                          b2 – 4ac > 0

                       (-m + 1 )2 – 4.1. 2> 0

                             m2 – 2m + 1  - 9 > 0

                              m2 – 2m - 8 > 0       (daerah yang dicari daerah positif )

                          m – 4)(m + 2) > 0

 

                                      ++++     --------           ++++

                                          

   -2          0          4

untuk m = 0 maka 02 – 2.0 - 8 = -8 ( negatif ) sehingga daerah diatas 0 adalah negatif

daerah yang lain positif, karena yang dicari daerah positif, maka kita arsir daerah positif tersebut dan itulah penyelesaiannya. sehinga diperoleh  m < -2 atau m > 4    

                                                                                                                 ( jawab  e)

 

5.      Himpunan penyelesaian  pertidaksamaan x > , x Î R adalah…..

  1. { x I –2 < x < 3, x Î R}

  2. { x I x < -3 atau x > 2,  x Î R}

  3. { x I –6 < x <-2 atay x > 3,  x Î R}

  4. { x I x<–2 atau  x > 3, x Î R}

  5. { x I x> 3, x Î R}

 

Pembahasan

x >  ( kuadratkan kedua ruas )

Û      x2 > x + 6

Û x2 - x – 6 > 0 ( daerah yang dicari daerah positif)

Û (x - 3)(x + 2) > 0








      -2         0          3

misal x = 0 maka 02 - 0 – 6 = -6 ( diperoleh hasil negatif) sehingga daerah diatas nol adalah daerah negatif. Daerah yang lain positif, karena yang dicari daerah positif, maka kita arsir daerah positif tersebut dan itulah penyelesaiannya.

++++     --------        ++++

      -2         0          3

diperoleh { x I x<–2 atau  x > 3, x Î R}                                                  ( jawab d )

 

6.      Akar-akar persamaan kuadrat x2 – 2x + 5 = 0 adalah a dan b. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (a + 2) dan (b+2) adalah…

  1. x2 – 6x + 13 = 0

  2. x2 – 6x + 7 = 0

  3. x2 – 2x + 5 = 0

  4. x2 – 2x + 7 = 0

  5. x2 – 2x + 13 = 0

Pembahasan

x2 – 2x + 5 = 0 maka  a = 1, b = -2 dan c = 5

a + b =

a b =

Persamaan kuadrat baru akar-akarnya (a + 2) dan (b+2) berarti

Ûx2 – ((a + 2) + (b+2)) x + (a + 2)(b+2) = 0

Ûx2 – (a +b+4) x + (ab + 2a+2b+4) = 0

Ûx2 – (a +b+4) x + (ab + 2(a+b)+4) = 0

Ûx2 – (2+4)) x + (5+ 2.2+4) = 0

Ûx2 – 6 x + 13 = 0                                              

Penyelesaian dengan rumus praktis

Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan ax2 + bx + c = 0, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya x1 + p dan x2 + p Þ a(x-p)2 + b(x-p) + c = 0

Persamaan x2 – 2x + 5 = 0 akar-akarnya adalah a dan b.

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (a + 2) dan (b+2)

(x-2)2 – 2(x-2) + 5 = 0

Û x2 - 4x + 4 - 2x + 4 + 5 = 0

Û x2 - 6x + 13 = 0                                                                                        ( jawab a )

 

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan  – 3x – 10 > 0.

Jawab :
– 3x – 10 > 0 atau
y =  – 3x – 10
(a > 0) , maka parabola terbuka ke atas,memotong sumbu X jika y = 0, maka
– 3x – 10 = 0
(x – 5)(x + 2) = 0
x = 5 atau x = -2
Jadi parabola memotong sumbu X
di (-2 , 0) dan (5 , 0)
Dari sketsa grafik di atas terlihat bahwa absis titik-titik
pada bagian grafik yang terletak di atas sumbu X adalah:
x < -2
x > 5
Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah :
{ x / x < -2 atau x > 5 }
Daerah himpunan penyelesaian HP = { x / x < -2 atau x > 5 }

Contoh 2

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan – 2x – 3= 0.

Jawab :
– 2x – 3= 0 atau
y = – 2x – 3
(a > 0) , maka parabola terbuka ke atas, memotong sumbu X jika y = 0, maka
– 2x – 3 = 0
(x – 3)(x + 1) = 0
x = 3 atau x = -1
Jadi parabola memotong sumbu x di (-1 , 0) dan (3 , 0)
X(-1,3)
Dari sketsa grafik di atas terlihat bahwa absis titik-titik pada
bagian grafik yang terletak di bawah sumbu X adalah: -1= x= 3
Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah : { x / -1= x= 3 }
Daerah himpunan penyelesaian
HP = {x / -1= x= 3}

  • Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan Menggunakan Garis Bilangan.

Langkah-langkah :
1. Menentukan pembuat nol dari ruas kiri pertidaksamaan.
2. Membuat garis bilangan beserta pembuat-pembuat nol ruas kiri.
3. Menentukan tanda dari nilai ax2 + bx + c pada masing-masing interval dengan cara mengambil titik-titik uji yang sesuai.
4. Menentukan penyelesaian pertidaksamaan yang diberikan dengan memilih tanda pada interval yang sesuai.

Contoh Pertidaksamaan Kuadrat

Contoh Soal 3

Tentukan penyelesaian pertidaksamaan: x² – 5x + 6 > 0!

Penyelesaian Soal:

Dengan memfaktorkan ruas kiri pertidaksamaan, maka diperoleh: (x-2) (X – 3) > 0

Telah diketahui bahwa hasil kali 2 bilangan real positif apabila ke dua faktor positif atau ke dua faktor negatif. Oleh karena itu,

(i). Jika ke dua faktor positif maka: x -2>0 dan x-3>0,x>2 dan x>3, sehingga diperoleh: x>3

(ii).Jika ke dua faktor negatif, maka: x -2<0 dan x-3<0, x<2 dan x<3, sehingga diperoleh: x<3

Jadi, penyelesaian persamaan diatas adalah: {x € R| x <2 atau x>3}

Contoh Soal 4

(x – 3) (x + 2) > 0
Penyelesaian :
(x – 3) (x + 2) = 0 dengan sifat perkalian nol
X – 3 = 0 atau x + 2 = 0
x1 = 3 x2 = – 2

Contoh Soal 5

9 – 2 = – 3x
Penyelesaian :
9 – 2 = – 3x
9 – 2 = – 3x
9 + 3x – 2 = 0 dengan memfaktorkan
(3x – 1) (3x + 2) = 0
3x – 1 = 0 atau 3x + 2 = 0
3x = 1 3x = -2
x1 = 1/3 x2 = -2/3

Contoh Soal 6

Tentukan himpunan penyelesaian dari + 2x – 8 ³ 0!

Jawab:

+ 2x – 8 ³ 0

(x + 4) (x – 2) ³ 0

x1 = -4            x2 = 2

Apabila diletakkan ke garis bilangan adalah daerah yang berharga positif adalah x £ -4 atau x ³ 2 merupakan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan + 2x – 8 ³ 0

Contoh Soal 7

Tentukan himpunan penyelesaian dari – 2x – 24 < 0

Jawab:

– 2x – 24 < 0

(x -6)(x +4) < 0

x1 = 6   x2 = -4

Apabila diletakkan ke garis bilangan adalah daerah yang berharga negatif adalah -4 < x < 6 merupakan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan – 2x – 24 < 0

 

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar