materi dan contoh soal pertidaksamaan
BAB
3
PERSAMAAN KUADRAT DAN
PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
A. Ringkasan Rumus-rumus
Bentuk Umum : ax2
+ bx + c = 0, dengan syarat a ¹0
1. Menentukan akar
–akar Persamaan Kuadrat
a. Rumus abc
b. Pemfaktoran
ax2 +
bx + c = 0
Û (x – p)(x – q) = 0
Û x = p atau x = q
2. Sifat-sifat akar-akar PK
Jika x1 dan x2
adalah akar-akar dari PK ax2 + bx + c = 0 maka ;
1. 
.
2.
3.
akar-akarnya saling berlawanan jika b = 0
4.
akar-akarnya saling berkebalikan jika a = c.
3. Menyusun Persamaan Kuadrat Baru
PK yang memiliki akar akar a dan b adalah
x2 – (a + b)x
+ ab = 0
Beberapa rumus
praktis dalam menyusun persamaan kuadrat baru;
Jika x1 dan x2
akar-akar persamaan ax2 + bx + c = 0, maka persamaan kuadrat baru
yang akar-akarnya:
(1) x1 + p
dan x2 + p Þ a(x-p)2
+ b(x-p) + c
(2) px1
dan px2 Þ ax2 + bpx + cp2=0
(3) 
Þ cx2 + bx + a = 0
(4) x12
dan x22 Þ a2x2
– (b2-2ac)x + c2 = 0
B. Ringkasan rumus-rumus Bab
Pertidaksamaan Kuadrat
Bentuk
Umum: ax2 + bx + c < 0 atau ax2 + bx + c > 0
Penyelesaian
ax2 + bx + c < 0 ( daerah yang dicari adalah daerah positif)
(x
– p)(x – q) < 0 (faktorkanlah ruas
kiri)
Kemudian tuangkan ke dalam
garis bilangan
p q
ambil sembarang titik,
kecuali di p dan q.
misalnya di titik
0. Kemudian kita substitusi ke dalam persamaan ax2 + bx + c. Tentukankanlah nilainya positif atau
negatif. Misalnya diperoleh negatif, berarti daerah diatas nol adalah daerah
negatif. Kemudian kita arsir daerah positif.
++++ ----------- +++++
p 0 q
HPnya adalah daearah positif
sehingga x < p atau x > q
Untuk pertidaksamaan ax2 + bx + c > 0
Caranya identik dengan cara diatas.
C. Kisi-kisi UN Tahun 2012 Bab Persamaan
dan Pertidaksamaan Kuadrat
1.
Menyelesaikan masalah yang berkaitan
dengan persamaan kuadrat
2.
Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat
D. Contoh soal dan Pembahasan
1. Persamaan 2x2
+ qx + (q-1) = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2.
Jika x12+x22 = 4, maka nilai q = ….
a. –6 dan 2 b. –5 dan 3 c. –4 dan 4 d. –3 dan 5 e.
–2 dan 6
Pembahasan
Diketahui 2x2 +
qx + (q-1) = 0, maka x1+x2 = 
dan x1.x2
= 
x12+x22
= (x1+ x2)2 - 2x1.x2
Û 4 =
Û 16 = q2- 4q + 4
Û 0 = q2-
4q -12
Û 4 =
Û (q + 2)(q - 6) = 0
Û 4 =
q
= -2 atau q = 6
Û 4 =
(
jawab e )
2. Akar-akar
persamaan x2 – 4x + 6 = 0 adalah x1 dan x2.
Nilai x12 + x22 = …..
Pembahasan
x2 – 4x + 6 = 0
maka a = 1, b = -4 dan c = 6
x1 + x2
= 
x1 x2
= 
x12 +
x22 = (x1
+ x2)2 - 2 x1 x2
= 42-2.6
= 16-12 = 4 ( Jawab
c)
3. Persamaan kuadrat
mx2 + (m-5)x – 20 = 0 akar-akarnya saling berlawanan.
Nilai m =….
a. 4 b.5 c. 6 d.
8 e. 12
Pembahasan
PK: mx2 + (m-5)x
– 20 = 0 sehingga a = m, b = m-5 dan c = -20
Akar-akarnya saling
berlawanan jika b = 0
Ûm – 5 = 0
Û m = 5 (
jawab b)
4. Persamaan kuadrat
x2 –(m-1)x + 2
= 0 mempunyai dua akar yang berlainan. Batas-batas nilai m
yang memenuhi adalaah….
a. –2 < m < 4 c. –4 < m < -2 e. m < -2 atau m > 4
b. –4 < m < -2 d. m < 2 atau m > 4
Pembahasan
x2 –(m-1)x + 2= 0, maka diperoleh a = 1, b = -m + 1, c = 2
syarat dua akar berlainan
adalah D > 0
b2 – 4ac > 0
(-m + 1
)2 – 4.1. 2> 0
m2 – 2m + 1 - 9 > 0
m2 – 2m - 8 > 0 (daerah yang dicari daerah positif )
m –
4)(m + 2) > 0
++++ -------- ++++
-2
0 4
untuk m = 0 maka 02 – 2.0 - 8 = -8 ( negatif ) sehingga
daerah diatas 0 adalah negatif
daerah yang lain positif, karena yang dicari daerah positif, maka kita
arsir daerah positif tersebut dan itulah penyelesaiannya. sehinga
diperoleh m < -2 atau m > 4
( jawab e)
5. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan x > 
, x Î R adalah…..
{ x I –2
< x < 3, x Î R}
{ x I x <
-3 atau x > 2, x Î R}
{ x I –6
< x <-2 atay x > 3, x Î R}
{ x I
x<–2 atau x > 3, x Î R}
{ x I x>
3, x Î R}
Pembahasan
x > ( kuadratkan kedua
ruas )
Û x2 > x + 6
Û x2 - x – 6 >
0 ( daerah yang dicari daerah positif)
Û (x - 3)(x + 2) > 0
-2 0 3
misal x = 0 maka 02
- 0 – 6 = -6 ( diperoleh hasil negatif) sehingga daerah diatas nol adalah
daerah negatif. Daerah yang lain positif, karena yang dicari daerah positif,
maka kita arsir daerah positif tersebut dan itulah penyelesaiannya.
++++
-------- ++++
-2 0 3
diperoleh { x I x<–2
atau x > 3, x Î R} ( jawab d )
6. Akar-akar
persamaan kuadrat x2 – 2x + 5 = 0 adalah a dan b. Persamaan kuadrat baru
yang akar-akarnya (a + 2) dan (b+2) adalah…
x2
– 6x + 13 = 0
x2
– 6x + 7 = 0
x2
– 2x + 5 = 0
x2
– 2x + 7 = 0
x2
– 2x + 13 = 0
Pembahasan
x2 – 2x + 5 = 0
maka a = 1, b = -2 dan c = 5
a + b = 
a b = 
Persamaan kuadrat baru
akar-akarnya (a + 2) dan (b+2) berarti
Ûx2 – ((a + 2) + (b+2)) x + (a + 2)(b+2) = 0
Ûx2 – (a +b+4) x + (ab + 2a+2b+4) = 0
Ûx2 – (a +b+4) x + (ab + 2(a+b)+4) = 0
Ûx2 – (2+4)) x +
(5+ 2.2+4) = 0
Ûx2 – 6 x + 13 = 0
Penyelesaian dengan rumus
praktis
Jika x1 dan x2
akar-akar persamaan ax2 + bx + c = 0, maka persamaan kuadrat baru
yang akar-akarnya x1 + p dan x2 + p Þ a(x-p)2 + b(x-p)
+ c = 0
Persamaan x2 – 2x
+ 5 = 0 akar-akarnya adalah a dan b.
Persamaan kuadrat baru yang
akar-akarnya (a + 2) dan (b+2)
(x-2)2 – 2(x-2) +
5 = 0
Û x2 - 4x + 4 - 2x
+ 4 + 5 = 0
Û x2 - 6x + 13 = 0 ( jawab a )
Tentukan
himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 
– 3x – 10 > 0.
Jawab :
– 3x – 10 > 0 atau
y = – 3x – 10
(a > 0) , maka parabola terbuka ke atas,memotong sumbu X jika y = 0, maka
– 3x – 10 = 0
(x – 5)(x + 2) = 0
x = 5 atau x = -2
Jadi parabola memotong sumbu X
di (-2 , 0) dan (5 , 0)
Dari sketsa grafik di atas terlihat bahwa absis titik-titik
pada bagian grafik yang terletak di atas sumbu X adalah:
x < -2
x > 5
Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah :
{ x / x < -2 atau x > 5 }
Daerah himpunan penyelesaian HP = { x / x < -2 atau x > 5 }
Contoh 2
Tentukan
himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan – 2x – 3= 0.
Jawab :
– 2x – 3= 0 atau
y = – 2x – 3
(a > 0) , maka parabola terbuka ke atas, memotong sumbu X jika y = 0, maka
– 2x – 3 = 0
(x – 3)(x + 1) = 0
x = 3 atau x = -1
Jadi parabola memotong sumbu x di (-1 , 0) dan (3 , 0)
X(-1,3)
Dari sketsa grafik di atas terlihat bahwa absis titik-titik pada
bagian grafik yang terletak di bawah sumbu X adalah: -1= x= 3
Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah : { x / -1= x= 3 }
Daerah himpunan penyelesaian
HP = {x / -1= x= 3}
Menyelesaikan Pertidaksamaan
Kuadrat dengan Menggunakan Garis Bilangan.
Langkah-langkah
:
1. Menentukan pembuat nol dari ruas kiri pertidaksamaan.
2. Membuat garis bilangan beserta pembuat-pembuat nol ruas kiri.
3. Menentukan tanda dari nilai ax2 + bx + c pada masing-masing interval dengan
cara mengambil titik-titik uji yang sesuai.
4. Menentukan penyelesaian pertidaksamaan yang diberikan dengan memilih tanda
pada interval yang sesuai.
Contoh
Pertidaksamaan Kuadrat
Contoh
Soal 3
Tentukan
penyelesaian pertidaksamaan: x² – 5x + 6 > 0!
Penyelesaian
Soal:
Dengan
memfaktorkan ruas kiri pertidaksamaan, maka diperoleh: (x-2) (X – 3) > 0
Telah
diketahui bahwa hasil kali 2 bilangan real positif apabila ke dua faktor
positif atau ke dua faktor negatif. Oleh karena itu,
(i). Jika
ke dua faktor positif maka: x -2>0 dan x-3>0,x>2 dan x>3, sehingga
diperoleh: x>3
(ii).Jika
ke dua faktor negatif, maka: x -2<0 dan x-3<0, x<2 dan x<3,
sehingga diperoleh: x<3
Jadi,
penyelesaian persamaan diatas adalah: {x € R| x <2 atau x>3}
Contoh
Soal 4
(x – 3)
(x + 2) > 0
Penyelesaian :
(x – 3) (x + 2) = 0 dengan sifat perkalian nol
X – 3 = 0 atau x + 2 = 0
x1 = 3 x2 = – 2
Contoh
Soal 5
9 – 2 = – 3x
Penyelesaian :
9 – 2 = – 3x
9 – 2 = – 3x
9 + 3x – 2 = 0 dengan memfaktorkan
(3x – 1) (3x + 2) = 0
3x – 1 = 0 atau 3x + 2 = 0
3x = 1 3x = -2
x1 = 1/3 x2 = -2/3
Contoh
Soal 6
Tentukan
himpunan penyelesaian dari + 2x – 8 ³ 0!
Jawab:
+ 2x – 8 ³ 0
(x + 4)
(x – 2) ³ 0
x1 =
-4 x2 = 2
Apabila
diletakkan ke garis bilangan adalah daerah yang berharga positif adalah x £ -4
atau x ³ 2 merupakan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan + 2x – 8 ³ 0
Contoh
Soal 7
Tentukan
himpunan penyelesaian dari – 2x – 24 < 0
Jawab:
– 2x – 24 < 0
(x -6)(x
+4) < 0
x1 =
6 x2 = -4
Apabila
diletakkan ke garis bilangan adalah daerah yang berharga negatif adalah -4 <
x < 6 merupakan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan – 2x – 24 < 0
Tidak ada komentar:
Posting Komentar